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设f(x)对任意x,y∈R都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)在R上连续
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设f(x)对任意x,y∈R都满足f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在x=0处连续,证明f(x)在R上连续
▼优质解答
答案和解析
任给x,t,
lim(t-->0)f(x+t)=lim(t-->0)f(x)+f(t)
=f(x)+ lim(t-->0)f(t)
=f(x)+f(0) ------ 因为f(x)在x=0处连续
=f(x+0)
=f(x)
所以 f 在x处连续.
所以f在R上连续.
lim(t-->0)f(x+t)=lim(t-->0)f(x)+f(t)
=f(x)+ lim(t-->0)f(t)
=f(x)+f(0) ------ 因为f(x)在x=0处连续
=f(x+0)
=f(x)
所以 f 在x处连续.
所以f在R上连续.
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