f(x+y)=f(x)+f(y),证明f（x）是正比例函数已知函数f（x）定义域为[-1,1],若对于任意的x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y）,且x＞0时,有f（x）＞0.这个能证明f（x）是连续且是正比例函数吗?如果能怎么证?

Question

f(x+y)=f(x)+f(y),证明f（x）是正比例函数
已知函数f（x）定义域为[-1,1],若对于任意的x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y）,且x＞0时,有f（x）＞0.
这个能证明f（x）是连续且是正比例函数吗?如果能怎么证?（我刚读高一,我觉得是可以的,但我同桌说不行.所以请求各位能帮忙答疑.

Answer 1

证明：
f(x)定义在[-1,1]上,任意x和y属于[-1,1]都有：
f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=0：f(x)=f(x)+f(0),f(0)=0
令x+y=0,y=-x：f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x)
所以：f(x)是奇函数
f(x)不一定是连续函数,也不能证明它是正比例函数