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f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)是正比例函数已知函数f(x)定义域为[-1,1],若对于任意的x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0.这个能证明f(x)是连续且是正比例函数吗?如果能怎么证?
题目详情
f(x+y)=f(x)+f(y),证明f(x)是正比例函数
已知函数f(x)定义域为[-1,1],若对于任意的x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0.
这个能证明f(x)是连续且是正比例函数吗?如果能怎么证?(我刚读高一,我觉得是可以的,但我同桌说不行.所以请求各位能帮忙答疑.
已知函数f(x)定义域为[-1,1],若对于任意的x,y∈[-1,1],都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,有f(x)>0.
这个能证明f(x)是连续且是正比例函数吗?如果能怎么证?(我刚读高一,我觉得是可以的,但我同桌说不行.所以请求各位能帮忙答疑.
▼优质解答
答案和解析
证明:
f(x)定义在[-1,1]上,任意x和y属于[-1,1]都有:
f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=0:f(x)=f(x)+f(0),f(0)=0
令x+y=0,y=-x:f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x)
所以:f(x)是奇函数
f(x)不一定是连续函数,也不能证明它是正比例函数
f(x)定义在[-1,1]上,任意x和y属于[-1,1]都有:
f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=0:f(x)=f(x)+f(0),f(0)=0
令x+y=0,y=-x:f(0)=f(x)+f(-x),f(-x)=-f(x)
所以:f(x)是奇函数
f(x)不一定是连续函数,也不能证明它是正比例函数
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