请问如果f(x),g(x)都在点x0处间断,那么f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在点x0处的连续性是怎样呢?

Question

请问如果f(x),g(x)都在点x0处间断,那么f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在点x0处的连续性是怎样呢?

Answer 1

可能间断也可能连续
连续的例子,
如果这两个函数满足f=g那么f-g=0必然在x0处连续
同样的,如果满足f=-g那么f+g=0必然在x0处连续
但是f+g和f-g不可能同时在x0,下面反证,
若f+g,f-g都在x0处连续,则
(f+g)(x0+)=(f+g)(x0-),即f(x0+)-f(x0-)=-(g(x0+)-g(x0-))
(f-g)(x0+)=(f-g)(x0-),即f(x0+)-f(x0-)=g(x0+)-g(x0-)
则f(x0+)-f(x0-)=g(x0+)-g(x0-)=0
上式说明f,g在x0处连续,与题设矛盾
其中f(x0+)表示f在x0处的右极限,f(x0-)表示在x0处的左极限
间断的例子
令f(x)=0,x<0；f(x)=1,x>=0
g(x)=0,x<0；g(x)=2,x>=0
f,g在0处间断,且f+g,f-g在0处都间断