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如图△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点,点P从B出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动,点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点
题目详情
如图△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点,点P从B出发,以a厘米/秒(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动,点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为t秒.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a=
,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a=
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2 |
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC的中点,
∴BD=CD=
BC=6cm,
∵a=2,
∴BP=2tcm,DQ=tcm,
∴BQ=BD-QD=6-t(cm),
∵△BPQ∽△BDA,
∴
=
,
即
=
,
解得:t=
;
(2)①过点P作PE⊥BC于E,
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,
∴PB=CM,
∴PB=PQ,
∴BE=
BQ=
(6-t)cm,
∵a=
,
∴PB=
tcm,
∵AD⊥BC,
∴PE∥AD,
∴PB:AB=BE:BD,
即
=
,
解得:t=
,
∴PQ=PB=
t=
(cm);
②不存在.理由如下:
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ.
若点P在∠ACB的平分线上,则∠PCQ=∠PCM,
∵PM∥CQ,
∴∠PCQ=∠CPM,
∴∠CPM=∠PCM,
∴PM=CM,
∴四边形PQCM是菱形,
∴PQ=CQ,PM∥CQ,
∴PB=CQ,PM:BC=AP:AB,
∵PB=atcm,CQ=CD+QD=6+t(cm),
∴PM=CQ=6+t(cm),AP=AB-PB=10-at(cm),
,
化简得②:6at+5t=30③,
把①代入③得,t=-
,
∴不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上.
∴BD=CD=
1 |
2 |
∵a=2,
∴BP=2tcm,DQ=tcm,
∴BQ=BD-QD=6-t(cm),
∵△BPQ∽△BDA,
∴
BP |
BD |
BQ |
AB |
即
2t |
6 |
6−t |
10 |
解得:t=
18 |
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(2)①过点P作PE⊥BC于E,
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,
∴PB=CM,
∴PB=PQ,
∴BE=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵a=
5 |
2 |
∴PB=
5 |
2 |
∵AD⊥BC,
∴PE∥AD,
∴PB:AB=BE:BD,
即
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10 |
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解得:t=
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∴PQ=PB=
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②不存在.理由如下:
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ.
若点P在∠ACB的平分线上,则∠PCQ=∠PCM,
∵PM∥CQ,
∴∠PCQ=∠CPM,
∴∠CPM=∠PCM,
∴PM=CM,
∴四边形PQCM是菱形,
∴PQ=CQ,PM∥CQ,
∴PB=CQ,PM:BC=AP:AB,
∵PB=atcm,CQ=CD+QD=6+t(cm),
∴PM=CQ=6+t(cm),AP=AB-PB=10-at(cm),
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化简得②:6at+5t=30③,
把①代入③得,t=-
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∴不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上.
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