f(x)的m阶导数在（a,b）上无根,是否能推出f(x)在(a,b)上最多只有M+1个根这个据说是罗尔定理的逆否命题的推广,但是我只见过：若f'(x)在(a,b)内有且仅有m个实根,则f(x)在(a,b)上至多只有m+1个根.

Question

f(x)的m阶导数在（a,b）上无根,是否能推出f(x)在(a,b)上最多只有M+1个根
这个据说是罗尔定理的逆否命题的推广,但是我只见过：若 f '(x)在(a,b)内有且仅有m 个实根,则 f(x)在(a,b)上至多只有m+1个根.这种说法.
谁能证明一下,f(x)的m阶导数在（a,b）上无根,是否能推出f(x)在(a,b)上最多只有M+1个根这种说法
所有的条件都是f(x)=0,f(x)=0,f(x)的m阶导数=0在（a,b）上有根或无根

Answer 1

根据题设f至少m阶可导,所以对于f的0到m阶导数,都可以运用罗尔定理
f的m阶导数无根,则f的m-1次导在(a,b)上最多一个根（否则根据罗尔定理,f的m-1次导数在两个根组成的开区间中连续且可导,则f的m-1次导的导数(即f的m次导)有根）
同理f的m-2次导在(a,b)上最多有2个根
...
f的0次导（即f）,在(a,b)上最多有m+1个根