直线y=x+b与双曲线2x2-y2=1相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求实数b的值．

Question

直线y=x+b与双曲线2x²-y²=1相交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求实数b的值．

Answer 1

联立

y=x+b

2x2-y2=1

，消去y得，x²-2bx-1-b²=0．
∵直线y=x+b与双曲线2x²-y=1相交于A，B两点，
由△=（-2b）²+4（1+b²）=4+8b²>0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则x₁+x₂=2b，x₁x₂=-1-b²．
所以y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²
=-1-b²+3b²=2b²-1，
因为以AB为直径的圆经过坐标原点，
即为

OA

•

OB

=0，
所以x₁x₂+y₁y₂=0．
即-1-b²+2b²-1=0，
解得b=±√(2)．
所以b的值是±√(2)．