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证明两条双曲线x^2-y^2=1与xy=2在交点处的切线互相垂直
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证明两条双曲线x^2-y^2=1与xy=2在交点处的切线互相垂直
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答案和解析
令A（m,n）是两双曲线的一个交点.
对x^2－y^2＝1求导数,得：2x－2yy′＝0,∴y′＝x/y,∴过点A的该双曲线的切线斜率k1＝m/n.
对xy＝2求导数,得：y＋xy′＝0,∴y′＝－y/x,∴过点A的该双曲线的切线斜率k2＝－n/m.
∵k1k2＝（m/n）（－n/m）＝－1,∴过点A的两双曲线的切线相互垂直.
对x^2－y^2＝1求导数,得：2x－2yy′＝0,∴y′＝x/y,∴过点A的该双曲线的切线斜率k1＝m/n.
对xy＝2求导数,得：y＋xy′＝0,∴y′＝－y/x,∴过点A的该双曲线的切线斜率k2＝－n/m.
∵k1k2＝（m/n）（－n/m）＝－1,∴过点A的两双曲线的切线相互垂直.
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