（2014•沭阳县模拟）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．（1）若抛物线y=-x

Question

（2014•沭阳县模拟）如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点、对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．
（1）若抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物菱形”是正方形，求b的值；
（2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x²+b′x（b′＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°．
①“抛物菱形OABC”的面积为

6√(3)

6√(3)

．
②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边与“抛物菱形OABC”的边AB、BC交于E、F，△OEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）∵抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物菱形”是正方形，
∴∠AOB=45°∠OAB=90°，
∴A点的横坐标、纵坐标相等，
∵A是抛物线y=-x²+bx（b＞0）的顶点，y=-x²+bx=-（x-(b)/(2)）²+(b2)/(4)，
∴A（(b)/(2)，(b2)/(4)），
∴(b)/(2)=(b2)/(4)，
解得：b=2，

（2）①∵由抛物线y=-x²+bx（b＞0）可知OB=b，
∵∠OAB=60°，
∴A（(b)/(2)，(√(3))/(2)b），
代入y=-x²+bx得：(√(3))/(2)b=-（(b)/(2)）²+b•(b)/(2)，解得：b=2√(3)，
∴OB=2√(3)，AC=6，
∴“抛物菱形OABC”的面积=(1)/(2)OB•AC=6

作业帮用户 2016-12-06

问题解析

（1）根据正方形的性质求得A点的横纵坐标相等，然后把y=-x²+bx化成y=-（x-(b)/(2)）²+(b2)/(4)，求得顶点坐标A（(b)/(2)，(b2)/(4)），得出(b)/(2)=(b2)/(4)，即可求得b的值；
（2）①根据“抛物菱形”的性质，依据∠OAB=60°求得OB的长，然后根据勾股定理求得AC的值，即可求得菱形的面积；②当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，从而求得△OEF是等边三角形，根据勾股定理求得OE=1，然后求边长为1的等边三角形的面积即可．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了“抛物菱形”的性质，抛物线的顶点坐标，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理的应用等．

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