（2014•尤溪县质检）如图1，已知矩形ABCD，E为AD边上一动点，过A，B，E三点作⊙O，P为AB的中点，连接OP，（1）求证：BE是⊙O的直径且OP⊥AB；（2）若AB=BC=8，AE=6，试判断直线DC与⊙O的位置关

Question

（2014•尤溪县质检）如图1，已知矩形ABCD，E为AD边上一动点，过A，B，E三点作⊙O，P为AB的中点，连接OP，
（1）求证：BE是⊙O的直径且OP⊥AB；
（2）若AB=BC=8，AE=6，试判断直线DC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）如图2，若AB=10，BC=8，⊙O与DC边相交于H，I两点，连结BH，当∠ABE=∠CBH时，求△ABE的面积．

Answer 1

（1）如图1，
∵矩形ABCD，∴∠A=90°，∴BE为直径，
∴OE=OB，
∵AP=BP，
∴OP∥AE，AE=2PO，
∴∠OPB=∠A=90°，
即OP⊥AB．

（2）此时直线CD与⊙O相切．
理由：如图1，延长PO交CD于M，
在Rt△ABE中，AB=8，AE=6，
则BE²=6²+8²=100，
∴BE=10，
∴此时⊙O的半径r=5，∴OM=r=5，
∵在矩形APMD中，PM=AD=8，
∴OM=PM-OP=5=r，
∴直线CD与⊙O相切．

（3）如图2，

【方法I】
∵BE为直径，
∴∠EHB=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∵∠C=90°，
∴∠3+∠2=90°，
∴∠2=∠4，
∴当∠1=∠2时，有
tan∠1=tan∠2=tan∠4，
设AE=x，CH=y，则DE=8-x，DH=10-y，
∴(x)/(10)=(y)/(8)=(8−x)/(10−y)，
解得，x=20，或x=5，
∵AE=x＜8，∴x=20，不合题意，舍去，取AE=x=5，
Rt△ABE的面积=(1)/(2)AE×AB=(1)/(2)×5×10=25．
【方法II】如图3，延长PO交CD于点F，连接OH，

在矩形FPBC，OP⊥AB，且FC=PB=(1)/(2)AB=5，
OP=(1)/(2)AE，OF=8-(1)/(2)AE，BE=2HO，
当∠ABE=∠CBH时，设tan∠ABE=tan∠CBH=k时，
在Rt△ABE中，则AE=10tan∠ABE=10k，
在Rt△HBC中，则HC=8tan∠ABE=8k，
∴OP=5k，OF=8-5k，FH=5-8k，
在Rt△ABE中，BE²=AE²+AB²=100（1+k²），
在Rt△OFH中，HO²=FH²+OF²=（5-8k）²+（8-5k）²，
∵BE=2HO，∴BE²=4 HO²
∴100（1+k²）=4[（5-8k）²+（8-5k）²]，
整理得，2 k²-5k+2=0，
解得，k=2，或k=(1)/(2)，
当k=2时，AE=10k=20＞8，不合题意，舍去；
当k=(1)/(2)时，AE=10k=5＜8，符合题意，
此时，Rt△ABE的面积=(1)/(2)AE×AB=(1)/(2)×5×10=25．