如图,已知在三角形中,E是AC上一点,以AE为直径的圆O与过B点的圆P外切于点D,若AC和BC边的长是关于x的方程x平方－（AB＋4）x＋4AB＋8＝0的两根.且25BC×sinA＝9AB1）求三角形ABC三边的长2）求证：BC是

Question

如图,已知在三角形中,E是AC上一点,以AE为直径的圆O与过B点的圆P外切于点D,若AC和BC边的长是关于x的方程x平方－（AB＋4）x＋4AB＋8＝0的两根.且25BC×sinA＝9AB
1）求三角形ABC三边的长
2）求证：BC是圆P的切线
3）若圆O的半径为3,求圆P的半径

Answer 1

以我的一些经验,感觉此题题干似乎有些问题,但又一时说不出来,是不是D点是在AB上的?
1）解三个三元二次方程（将三角形ABC的外接圆半径当作常数R）AC=8,BC=6,AB=10,三角形ABC是一个角C为直角的直角三角形
2）如果D点在AB上,过D点作两圆公切线GF交BC于F,则角FDB=角GDA=角DEA,由于角C=90度,所以,由三角形相似得,角DEA=角ABC,所以角ABC=角FDB,所以角ABC为弦切角,所以BC是圆P的切线.
3）这个很简单,由三角形相似,因为AE=6,所以AD=24/5,BD=26/5,所以BP=3·13/12=39/12