已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点D，联结AD．（1）求证：AD是∠BAC的平分线；（2）若AC=3，BC=4，求⊙O的半径．

Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点D，联结AD．
（1）求证：AD是∠BAC的平分线；
（2）若AC=3，BC=4，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∴OD=OA，
∴∠1=∠2，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ODB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴∠3=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD是∠BAC的平分线．

（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴由勾股定理得 AB=5．
在Rt△ODB中，tanB=(OD)/(BD)，
设一份为x，则OD=OA=3x，则BD=4x，OB=5x，
∴AB=8x，
∴8x=5，
解得x=(5)/(8)，
∴半径OA=(15)/(8)．