已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a5=13a32，S7=56．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=a1且bn+1-bn=an+1，求数列{

Question

已知正项等差数列{a _n }的前n项和为S _n ，且满足 a 1 + a 5 =(1)/(3) a 3 2 ，S ₇ =56．
（Ⅰ）求数列{a _n }的通项公式a _n ；
（Ⅱ）若数列{b _n }满足b ₁ =a ₁ 且b _n+1 -b _n =a _n+1 ，求数列 {(1)/(bn) } 的前n项和T _n ．

Answer 1

（Ⅰ）∵{a _n }是等差数列且 a 1 + a 5 =(1)/(3) a 3 2 ，
∴ 2 a 3 =(1)/(3) a 3 2 ，
又∵a _n ＞0∴a ₃ =6．…（2分）
∵ S 7 =(7( a1 + a7 ))/(2) =7 a 4 =56∴ a 4 =8 ，…（4分）
∴d=a ₄ -a ₃ =2，
∴a _n =a ₃ +（n-3）d=2n．   …（6分）
（Ⅱ）∵b _n+1 -b _n =a _n+1 且a _n =2n，
∴b _n+1 -b _n =2（n+1）
当n≥2时，b _n =（b _n -b _n-1 ）+（b _n-1 -b _n-2 ）+…+（b ₂ -b ₁ ）+b ₁
=2n+2（n-1）+…+2×2+2=n（n+1），…（8分）
当n=1时，b ₁ =2满足上式，b _n =n（n+1）
∴ (1)/(bn) =(1)/(n(n+1)) =(1)/(n) -(1)/(n+1) …（10分）
∴ T n =(1)/(b1) +(1)/(b2) +…+(1)/(bn-1) +(1)/(bn) =(1-(1)/(2) )+((1)/(2) -(1)/(3) )+…+((1)/(n-1) -(1)/(n) )+((1)/(n) -(1)/(n+1) ) = 1-(1)/(n+1) =(n)/(n+1) ．        …（12分）