变上限积分求导?x∫(0到x)f(x-t)dt求导把x-t换成u我求的是xf(u)+∫(0到x)f(u)du请问xf(u)是不是可以直接换成xf(x)如果是请问这是什么换元法

Question

变上限积分求导?
x∫(0到x)f(x-t)dt 求导 把x-t换成u 我求的是xf(u)+∫(0到x)f(u)du 请问 xf(u)是不是可以直接换成xf(x) 如果是 请问这是什么换元法

Answer 1

令x-t=u,
则dt= -du,
故∫(0到x)f(x-t)dt = -∫(x到0)f(u)du =∫(0到x)f(u)du,
于是
x∫(0到x)f(x-t)dt = x ∫(0到x)f(u)du,
所以
d [x∫(0到x)f(x-t)dt] /dx
= d [ x ∫(0到x)f(u)du ] / dx
= x * d [ ∫(0到x)f(u)du ] / dx + dx/dx * ∫(0到x)f(u)du
注意在这里,变上限积分函数∫(0到x)f(u)du 对x求导的话,
求得的导数就是f(x)而不是f(u),
因此,
d [x∫(0到x)f(x-t)dt] /dx
=x * d [ ∫(0到x)f(u)du ] / dx + dx/dx * ∫(0到x)f(u)du
=x * f(x) + ∫(0到x)f(u)du
不是xf(u)可不可以直接换成xf(x)的问题,
而是对其求导得到的就是xf(x)