设直线y=ax+b与双曲线3x2-y2=1交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点P（a，b）的轨迹方程．

Question

设直线y=ax+b与双曲线3x²-y²=1交于A、B，且以AB为直径的圆过原点，求点P（a，b）的轨迹方程．

Answer 1

由

y＝ax+b

3x2−y2＝1

，
消去y得：（a²-3）x²+2abx+b²+1=0．
∵直线与双曲线交于A、B两点，
∴

a2−3≠0

△＞0

，解得a²＜3．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=(2ab)/(3−a2)，x₁•x₂=(b2+1)/(a2−3)．
∴y₁•y₂=（ax₁+b）（ax₂+b）=a²x₁x₂+ab（x₁+x₂）+b²，
又∵以AB为直径的圆过原点，
∴

OA

⊥

OB

，得x₁x₂+y₁y₂=0，
由此可得x₁x₂+[a²x₁x₂+ab（x₁+x₂）+b²]=0，
即（1+a²）x₁x₂+ab（x₁+x₂）+b²=0，
可得：（1+a²）•(b2+1)/(a2−3)-ab•