已知圆C的方程为：X²+（y-4）²=1,直线l的方程为2x-y=0,点p在直线l上,过点P作圆C的切线PA,PB,切点为A,B.求证：经过A,P,C三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.

Question

已知圆C的方程为：X²+（y-4）²=1,直线 l 的方程为2x-y=0,点p在直线 l 上,过点P作圆C的切线PA,PB,切点为A,B.
求证：经过A,P,C三点的圆必经过定点,并求出所有定点的坐标.

Answer 1

∵△PAC是直角△.∴过APC的圆的圆心是PC的中点(设为O),PC就是直径.设P为(a.2a),
又C坐标是(0.4) .∴O坐标是(a/2,a+2) ,圆O半径R²=(PC/2)²=a²/4+(a-2)²
.∴圆O方程：(x-a/2)²+(y-a-2)²=a²/4+(a-2)²
整理得 (x²+y²-4y)+(8-x-2y)a=0
∵a不固定,令8-x-2y=0,x²+y²-4y=0可得x=8/5,y=16/5 所以不管P怎么动,圆O必过(8/5.16/5)
当然也必过C(0.4)