A=E-XXT,其中X为n维非零,（1）A2=A的充要条件为XTX=1,（2）列向量,证明当XTX=1时,A不可逆.救急.感谢

Question

A=E-XXT,其中X为n维非零,（1）A2=A的充要条件为XTX=1,（2）列向量,证明当XTX=1时,A不可逆.救急.感谢

Answer 1

A^2 = (E-XX^T)(E-XX^T)
= E-2XX^T+XX^TXX^T
= E-2XX^T+(X^TX)XX^T
= E - (2-X^TX)XX^T
所以 A^2=A 2-X^TX=1 X^TX=1.

当 X^TX=1 时, XX^T 的特征值为 1,0,...,0
所以 A 的特征值为 0,1,...,1
故 |A|=0
所以 A 不可逆.