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(本小题满分12分)已知二次曲线Ck的方程:.(Ⅰ)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件;(Ⅱ)若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长,求双曲线方程
题目详情
(本小题满分12分)已知二次曲线Ck的方程: .
(Ⅰ)分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件;
(Ⅱ)若双曲线Ck与直线y=x+1有公共点且实轴最长,求双曲线方程
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答案和解析
(Ⅰ)即k<4时,方程表示椭圆. 当即4<k<9时,方程表示双曲线(Ⅱ)
分 析:
(1)椭圆双曲线标准方程的特点(2)解决直线和椭圆的问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式.第四步:根据题设条件求解问题中结论.试题
解析:
(Ⅰ)当且仅当,即k<4时,方程表示椭圆.当且仅当(9-k)(4-k)<0,即4<k<9时,方程表示双曲线.(Ⅱ)解法一:由化简得,(13-2k)x2+2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0∵Δ≥0,∴k≥6或k≤4(舍)∵双曲线实轴最长,∴k取最小值6时,9-k最大即双曲线实轴最长,此时双曲线方程为.解法二:若Ck表示双曲线,则k∈(4 9),不妨设双曲线方程为,联立消去y得,(5-2a2)x2-2a2x-6a2+a4=0∵Ck与直线y=x+1有公共点,∴Δ=4a4-4(5-2a2)(a4-6a2)≥0,即a4-8a2+15≥0,∴a2≤3或a2≥5(舍),∵双曲线实轴最长,应取3,此时双曲线方程为
考点:
椭圆双曲线标准方程的特点,求双曲线方程
分 析:
(1)椭圆双曲线标准方程的特点(2)解决直线和椭圆的问题时注意:第一步:根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知;有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程.第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程.第三步:求解判别式.第四步:根据题设条件求解问题中结论.试题
解析:
(Ⅰ)当且仅当,即k<4时,方程表示椭圆.当且仅当(9-k)(4-k)<0,即4<k<9时,方程表示双曲线.(Ⅱ)解法一:由化简得,(13-2k)x2+2(9-k)x+(9-k)(k-3)=0∵Δ≥0,∴k≥6或k≤4(舍)∵双曲线实轴最长,∴k取最小值6时,9-k最大即双曲线实轴最长,此时双曲线方程为.解法二:若Ck表示双曲线,则k∈(4 9),不妨设双曲线方程为,联立消去y得,(5-2a2)x2-2a2x-6a2+a4=0∵Ck与直线y=x+1有公共点,∴Δ=4a4-4(5-2a2)(a4-6a2)≥0,即a4-8a2+15≥0,∴a2≤3或a2≥5(舍),∵双曲线实轴最长,应取3,此时双曲线方程为
考点:
椭圆双曲线标准方程的特点,求双曲线方程
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