已知函数f（x）=2x+ax2+1（x∈R）为奇函数，判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Question

已知函数f（x）=(2x+a)/(x2+1)（x∈R）为奇函数，判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性．

Answer 1

∵函数f（x）=(2x+a)/(x2+1)（x∈R）为奇函数，
∴f（0）=0，
∴a=0，
∴f(x)＝(2x)/(x2+1)，
∵f′（x）=(2(1−x2))/((x2+1)2)＝(2(1+x)(1−x))/((x2+1)2)，
令f′（x）≥0，∵x∈（0，+∞），
∴0＜x≤1，
令f′（x）＜0，
∴x＞1，
∴函数f(x)＝(2x)/(x2+1)在（0，1]为增函数，（1，+∞）上为减函数．