若f（x）f（y）对任意x,y可微,且f（x+y）=f（x）f（y）当f（x)不等0且f（y）不等0时,证明f（x）=e^ax,其中a为实数

Question

若f（x）f（y）对任意x,y可微,且f（x+y）= f（x）f（y）
当f（x)不等0 且 f（y）不等0 时,证明f（x）= e^ax,其中a为实数

Answer 1

令y=0
得f(x)=f(x)f(0)
当f(x)不等于0时则f(0)=1
f(x+y)-f(x)=f(x)(f(y)-1)
=>[f(x+y)-f(x)]/y=f(x)(f(y)-f(0))/y
设y趋近于0
则左边[f(x+y)-f(x)]/y=f'(x)
右边f(x)(f(y)-f(0))/y=f(x)f'(0)
则f'(x)=f(x)f'(0)
设f'(0)=a,(若a=0则f(x)=C,f（x+y）= f（x）f（y）可得C=1,C=0舍去)
a不等于0时
则f(x)=f'(x)/a
设f(x)=e^ax*g(x),
则e^ax*g(x)=[ae^ax*g(x)+e^ax*g'(x)]/a
=>e^ax*g'(x)/a=0
则g(x)=C
f(x)=Ce^ax
f（x+y）= f（x）f（y）
=>Ce^(ax+ay)=C²e^(ax+ay)
则C=1,C=0舍去
故f(x)=e^ax,
因a=0时f(x)=1同样成立
故f(x)=e^ax,