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如图已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且过点A（0，1）．（1）求椭圆的方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点P（0，﹣）．
题目详情
如图已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，且过点A（0，1）．（1）求椭圆的方程； （2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点P（0，﹣  ）． |
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答案和解析
如图已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，且过点A（0，1）．（1）求椭圆的方程； （2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点P（0，﹣  ）． |
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（1）由题意知，e= ，b=1，a 2 ﹣c 2 =1，解得a=2，所以椭圆C的标准方程为  ．（2）设直线l1的方程为y=kx+1， 由方程组  ，得（4k 2 +1）x 2 +8kx=0，解得  ，x 2 =0，所以  ，y M = ，同理可得  ， ， = = ， = = ，M，N，P三点共线，故直线MN恒过定点P（0，﹣  ）． |
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