求平面方程求过直线（x+2*y+z-1=0,x-y-2*z+3=0）的平面,使之平行于曲线（X^2+y^2=z^2/2,x+y+2*z=4）在点（1,-1,2）的切线方程

Question

求平面方程
求过直线（x+2*y+z-1=0,x-y-2*z+3=0）的平面,使之平行于曲线（X^2+y^2=z^2/2,x+y+2*z=4）在点（1,-1,2）的切线方程

Answer 1

令F(x,y,z)=x²+y²-z²/2,则曲面F(x,y,z)=0在点(1,-1,2)的切平面法向为
(əF/əx,əF/əy,əF/əz)=(2x,2y,-z)=(2,-2,-2),∴过点(1,-1,2)的切平面方程为
2x-2y-2z=0,即x-y-z=0,∴题中曲线在点(1,-1,2)的切线方程为
(x+y+2z=4,x-y-z=0),其方向为(1,1,2)X(1,-1,-1）=(1,3,-2)
而直线(x+2y+z-1=0,x-y-2z+3=0)的方向为(1,2,1)X(1,-1,-2)=(-3,3,-3)
∴过直线(x+2y+z-1=0,x-y-2z+3=0)且与切线(x+y+2z=4,x-y-z=0)平行
的平面法向为(1,3,-2)X(-3,3,-3)=(-3,9,12)
又任取直线(x+2y+z-1=0,x-y-2z+3=0)上一点,比如(-1/3,0,4/3)
则可求得该平面方程为-3x+9y+12z=17