已知函数f（x）=2x−12x+1，（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）求证：f（x）在R上为增函数．

Question

已知函数f（x）=(2x−1)/(2x+1)，
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）求证：f（x）在R上为增函数．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为R，且f（x）=(2x−1)/(2x+1)=1-(2)/(2x+1)，
所以f（-x）+f（x）=（1-(2)/(2−x+1)）+（1-(2)/(2x+1)）=2-（(2)/(2x+1)+(2)/(2−x+1)）
=2-（(2)/(2x+1)+(2•2x)/(2x+1)）=2-(2(2x+1))/(2x+1)=2-2=0，
即f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数；
（2）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂有，f（x₁）-f（x₂）=(2x1−1)/(2x1+1)-(2x2−1)/(2x2+1)=(2(2x1−2x2))/((2x1+1)(2x2+1))，
∵x₁＜x₂，2x1−2x2＜0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
所以，函数f（x）在R上是增函数；