已知椭圆C：X的平方+y的平方/4=1,直线L：y=mx+1,设L交C于A、B两点,求AB中点M轨迹方程

Question

已知椭圆C：X的平方+y的平方/4=1,直线L：y=mx+1,设L交C于A 、B两点,求AB中点M轨迹方程

Answer 1

解,
x²+y²/4=1
y=mx+1
联立方程,整理得,
(m²+4)x²+2mx-3=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y)
∴x1+x2=-2m/(m²+4)
y1+y2=m(x1+x2)+2
=8/(m²+4)
∴x=(x1+x2)/2=-m/(m²+4)【1】
y=(y1+y2)/2=4/(m²+4),【2】
【1】和【2】联立消去m,
整理得,4x²+y²-y=0.
因此,AB的中点M的轨迹方程就是4x²+y²-y=0
【备注：M点的轨迹方程也是椭圆,焦点在y轴上.】