已知函数f(x)＝x−2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大

Question

已知函数f(x)＝x−2m2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，请求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）由条件知幂函数f(x)＝x−2m2+m+3(m∈Z)在（0，+∞）上为增函数，则-2m²+m+3＞0∴−1＜m＜(3)/(2)，
又m∈Z，∴m=0或1．
当m=0时，f（x）=x³，不满足f（x）为偶函数；
当m=1时，f（x）=x²，满足f（x）为偶函数；
∴f（x）=x²．
（2）g(x)＝loga(x2−ax)，令h（x）=x²-ax，由h（x）＞0得：x∈（-∞，0）∪（a，+∞）
∵g（x）在[2，3]上有定义，∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x²-ax在[2，3]上为增函数．
当1＜a＜2时，g_max=g（3）=log_a（9-3a）=2，∴a2+3a−9＝0⇒a＝(−3±3√(5))/(2)，又1＜a＜2，∴a＝(−3+3√(5))/(2)
当0＜a＜1时，g_max=g（2）=log_a（4-2a）=2，∴a2+2a−4＝0⇒a＝−1±√(5)，又0＜a＜1，∴此种情况不存在．
综上，存在实数a＝(−3+3√(5))/(2)，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．