设空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0，Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则（）A．∫∫∫Ω1xdv＝4∫∫∫Ω2dvB．∫∫∫Ω1ydv＝4∫∫∫Ω2ydvC．∫∫∫Ω1zdv＝4∫∫∫Ω2zdvD．∫∫∫Ω1xyzdv＝4∫∫

Question

设空间区域Ω₁：x²+y²+z²≤R²，z≥0，Ω₂：x²+y²+z²≤R²，x≥0，y≥0，z≥0，则（　　）

A．

∫∫∫

Ω1

xdv＝4

∫∫∫

Ω2

dv
B．

∫∫∫

Ω1

ydv＝4

∫∫∫

Ω2

ydv
C．

∫∫∫

Ω1

zdv＝4

∫∫∫

Ω2

zdv
D．

∫∫∫

Ω1

xyzdv＝4

∫∫∫

Ω2

xyzdv

Answer 1

由于空间区域：Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0，是上半球体，Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，是球体在第一卦限的部分，
（1）对于选项A．
被积函数f（x，y，z）=x是关于x的奇函数，它在关于YOZ对称的立体区域Ω₁上的三重积分为0，而在Ω₂上x≥0，
因而它的三重积分不为0，
故选项A错误；
（2）对于选项B．
被积函数f（x，y，z）=x是关于y的奇函数，它在关于XOZ对称的立体区域Ω₁上的三重积分为0，而在Ω₂上y≥0，
因而它的三重积分不为0，
故选项B错误；
（3）对于选项C．
被积函数f（x，y，z）=z在Ω₁上和Ω₂上都是非负的，且Ω₁在第一到第四卦限上的形状都一样，
因而有三重积分的定义可知：

∫∫∫

Ω1

zdv＝4

∫∫∫

Ω2

zdv成立，
故选项C正确；
（4）对于选项D．类似于选项A和B讨论知选项D错误，
故选：C．