如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线、、、上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为、、（＞0，＞0，＞0）．（1）求证：=；（2）设正方形ABCD的面积为S

Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线 、 、 、 上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为 、 、 （ ＞0， ＞0， ＞0）．
（1）求证： = ；
（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S= ；
（3）若 ，当 变化时，说明正方形ABCD的面积S随 的变化情况．

Answer 1

（1）过A点作AF⊥l ₃ 分别交l ₂ 、l ₃ 于点E、F，过C点作CG⊥l ₃ 交l ₃ 于点G，
∵l ₂ ∥l ₃ ，∴∠2 =∠3，∵∠1+∠2=90°，∠4+∠3=90°，∴∠1=∠4，又∵∠BEA=∠DGC=90°, BA=DC，∴△BEA≌△DGC，∴AE=CG，即 = ；
（2）∵∠FAD+∠3=90°，∠4+∠3=90°，∴∠FAD =∠4，又∵∠AFD=∠DGC=90°, AD=DC，∴△AFD≌△DGC，∴DF=CG，∵AD ² =AF ² +FD ² ，∴S=3 ；
(3)由题意，得 ， 所以
，
又 ，解得0＜h ₁ ＜
∴当0＜h ₁ ＜ 时，S随h ₁ 的增大而减小；
当h ₁ = 时，S取得最小值 ；
当 ＜h ₁ ＜ 时，S随h ₁ 的增大而增大.

（1）通过证明三角形全等证得 = ；
（2）通过做辅助线构建直角三角形，用勾股定理可得S=3
（3）利用二次函数的思想求得正方形ABCD的面积S随 的变化情况．