高数：广义积分问题疑惑看到一个定理说fx如果有界那么假如fx从0到正无穷的积分和fx从负无穷到0的积分有一个是发散的那么fx在负无穷到正无穷上就是发散的我联想到arctgx在负无穷到正

Question

高数：广义积分问题疑惑
看到一个定理 说fx如果有界 那么 假如 fx从0到正无穷的积分和fx从负无穷到0的积分有一个是发散的 那么fx在负无穷到正无穷上就是发散的
我联想到arctgx在负无穷到正无穷有界 且单侧广义积分发散（从图形上判断） 但是arctgx不是奇函数吗?从负无穷到正无穷的积分不应该相消为0才对吗?或者是在R上的有界奇函数怎么满足这个结论?

Answer 1

奇函数在对称区间积分为0若区间是无界的,那必须满足条件在一半区间上积分有界.
原因是虽然积分区间是(-∞,﹢∞)
但是这两个无穷大代表的程度可以不一样的,即积分和求极限不一定能交换运算
即不一定有
∫ f(t)dt = lim x->﹢∞ ∫ f(t)dt
我们只能把积分拆项,然后用
lim x->﹢∞ ∫ f(t)dt - lim x->-∞ ∫ f(t)dt
只有∫ f(t)dt 和∫ f(t)dt 积分都有界才行.
在奇函数且这两个积分有界的情况下,这两个积分一样,然后抵消了
其次,lim x->﹢∞ ∫ f(t)dt 定义为柯西主值,数分中有一定讨论.