不等边△ABC中，三边长为a，b，c，且a+b=2c，若过△ABC的重心G和内心I的直线分该三角形两部分的面积为S1，S2，（S1≤S2），则S1：S2的值为4545．

Question

不等边△ABC中，三边长为a，b，c，且a+b=2c，若过△ABC的重心G和内心I的直线分该三角形两部分的面积为S₁，S₂，（S₁≤S₂），则S₁：S₂的值为

(4)/(5)

(4)/(5)

．

Answer 1

连接AG并延长交BC于点D，连接AI并延长交BC与点F作IE⊥BC于E，AH⊥BC于H，则IE为内切圆I的半径，连接GI交AB与G′，交AC与I′，
设IE=r．
S_△ABC=(1)/(2)BC•AH=(1)/(2)（AB+BC+CA）•r，
∵a+b=2c，即BC+AC=2AB，
∴(1)/(2)BC•AH=(1)/(2)•3BC•r，
∴(r)/(AH)=(1)/(3)，即(IE)/(AH)=(1)/(3)，
∵IE∥AH，
∴(IF)/(AF)=(IE)/(AH)=(1)/(3)，
∴(AI)/(AF)=(2)/(3)，
∵(AG)/(AD)=(2)/(3)，
∴IG∥BC，
∴△AG′I′∽△ABC，
∴S₁：S_△ABC=4：9，
∴S₁：S₂=4：5，
故答案为：(4)/(5)．