若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+(15/4)x-9都相切,则a的值为、、?

Question

若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x^3和y=ax^2+(15/4)x-9都相切,则a的值为、、?

Answer 1

设该直线与曲线y=x^3的切点为(x0,x0^3),则由直线上两点(x0,x0^3)和(1,0)得斜率k=x0^3/(x0-1)；
y'=3x^2,由导数得斜率k=3x0^2；
所以：x0^3/(x0-1)=3x0^2,即x0=3x0-3,得：x0=3/2,所以：k=27/4；
所以这条直线为y=27(x-1)/4；
设该直线与曲线y=ax^2+(15/4)x-9的切点的横坐标为m,y'=2ax+15/4,
切线斜率k=2am+15/4=27/4,得：2am=3,即m=3/2a；把m=3/2a代入切线y=27(x-1)/4,
得切点的纵坐标为y=81/8a-27/4,所以切点为(3/2a,81/8a-27/4)
代入曲线y=ax^2+(15/4)x-9得关于a的方程：
81/8a-27/4=9/4a+45/8a-9,整理得：9/4a=-9/4,所以：a=-1
（注：切线问题,在某点处的切线,和过某点的切线,这两种说法是不一样的,后者那个点有可能不在曲线上,而切线问题的关键就是找切点,或者说找切点的横坐标）
如果不懂,请Hi我,