已知=(220)O为坐标原点点M满足|+|+|-|=6.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)是否存在直线l过点P(02)与轨迹C交于A、B两点且以AB为直径的圆过原点?若存在求出直线l的方程;若不

Question

已知 =(22 0) O为坐标原点 点M满足| + |+| - |=6.

(1)求点M的轨迹C的方程;

(2)是否存在直线l过点P(0 2) 与轨迹C交于A、B两点 且以AB为直径的圆过原点?若存在 求出直线l的方程;若不存在 请说明理由.

Answer 1

(1)设M(x y) 则 =(x y)

由题意 得|(x y)+(2 0)|+|(x y)-(2 0)|=6

∴|(x+2 y)|+|(x-2 y)|=6.

∴ + =6.

化简得 +y ² =1(亦可据上式由定义得到此方程).

(2)当l斜率不存在时 显然不符合题意.

∴设l:y=kx+2 A(x ₁ y ₁ )、B(x ₂ y ₂ ).

(1+9k ² )x ² +36kx+27=0 x ₁ +x ₂ =- x ₁ x ₂ = .

∵以AB为直径的圆过原点

∴ ⊥ .

∴x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ =0.

∴x ₁ x ₂ +y ₁ y ₂ =x ₁ x ₂ +(kx ₁ +2)·(kx ₂ +2)=(k ² +1)x ₁ x ₂ +2k(x ₁ +x ₂ )+4= - +4

= +4=0.

∴k=±

∴l:y=± x+2.