已知=(220)O为坐标原点点M满足|+|+|-|=6.(1)求点M的轨迹C的方程;(2)是否存在直线l过点P(02)与轨迹C交于A、B两点且以AB为直径的圆过原点?若存在求出直线l的方程;若不
=(22 0) O为坐标原点 点M满足| 
+ |+| - |=6. (1)求点M的轨迹C的方程;
(2)是否存在直线l过点P(0 2) 与轨迹C交于A、B两点 且以AB为直径的圆过原点?若存在 求出直线l的方程;若不存在 请说明理由.
(1)设M(x y) 则 
=(x y)
由题意 得|(x y)+(2 
0)|+|(x y)-(2 0)|=6
∴|(x+2 y)|+|(x-2 y)|=6.
∴ 
+ 
=6.
化简得 
+y 2 =1(亦可据上式由定义得到此方程).
(2)当l斜率不存在时 显然不符合题意.
∴设l:y=kx+2 A(x 1 y 1 )、B(x 2 y 2 ).
(1+9k 2 )x 2 +36kx+27=0 x 1 +x 2 =- 
x 1 x 2 = 
.
∵以AB为直径的圆过原点
∴ 
⊥ 
.
∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =0.
∴x 1 x 2 +y 1 y 2 =x 1 x 2 +(kx 1 +2)·(kx 2 +2)=(k 2 +1)x 1 x 2 +2k(x 1 +x 2 )+4= 
- 
+4
= 
+4=0.
∴k=± 
∴l:y=± x+2.
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