已知点ABC均在椭圆M:x²/a²+y²=1(a>1)上,直线AB,AC分别为椭圆的左右焦点F1,F2当向量AC*向量F1F2=0时,有9向量AF1*向量AF2=向量AF1平方（1）求椭圆M的方程（2)设点P是椭圆M上任一点,EF为圆N：x&su

Question

已知点ABC均在椭圆M:x²/a²+y²=1(a>1)上,直线AB,AC分别为椭圆的左
右焦点F1,F2当向量AC*向量F1F2=0时,有9向量AF1*向量AF2=向量AF1平方（1）求椭圆M的方程（2)设点P是椭圆M上任一点,EF为圆N：x²+（y-2）²=1的任一条直径,求向量PE*向量PF的最大值

Answer 1

AC*F1F2=0,AF1⊥F1F2,
9AF1*AF2=AF1^2,为方便起见,记|AF1|=r,|AF2|=s,而|F1F2|=2c
即9rscosA=r^2
所以cosA=r/(9s)
由直角三角形可得
cosA=s/r,所以r=3s,及4c^2+s^2=r^2,于是4c^2=8s^2,c^2=2s^2
2a=r+s=4s,a=2s又a^2-c^2=1,即4s^2-2s^2=1,s^2=1/2
a^2=2,
椭圆方程为x^2/2+y^2=1
由条件可知,圆与椭圆在上顶点处外切
|EF|=2,
PE*PF=|PE||PF|cos∠EPF=(|PE|^2+|PF|^2-|EF|^2)/2
记圆心为C,则PC为三角形PEF的边EF上的中线,于是
4|PC|^2+|EF|^2=2(|PE|^2+|PF|^2)
即|PE|^2+|PF|^2=|EF|^2/2+2|PC|^2
PE*PF=2|PC|^2-|EF|^2/2=2|PC|^2-2
所以只需求|PC|的最大值
为此,我们考虑圆x^2+(y-2)^2=9与椭圆的位置关系,
联立椭圆方程可解得y仅有-1一个解,
这说明椭圆的下顶点到C的距离最远,
即|PC|的最大值为3,
所以PE*PF的最大值为16