设数列{an}，a1=4，an+1=3an+2n-1（1）求证{an+n}是等比数列（2）求an．

Question

设数列{a_n}，a₁=4，a_n+1=3a_n+2n-1
（1）求证{a_n+n}是等比数列
（2）求a_n．

Answer 1

（1）∵a_n+1=3a_n+2n-1
∴a_n+1+n+1=3a_n+3n=3（a_n+n），
则数列{a_n+n}是公比q=3，首项a₁+1=5的等比数列，
（2）由（1）得a_n+n=5•3^n-1，
即a_n=5•3^n-1-n，
当n=1时成立，
故a_n=5•3^n-1-n．