若对任意实数x，二次三项式ax2+2（a+1）x+a+12的值恒为负数，则a的取值范围a＜-23a＜-23．

Question

若对任意实数x，二次三项式ax²+2（a+1）x+a+(1)/(2)的值恒为负数，则a的取值范围

a＜-(2)/(3)

a＜-(2)/(3)

．

Answer 1

令y=ax²+2（a+1）x+a+(1)/(2)，
∵二次三项式ax²+2（a+1）x+a+(1)/(2)的值恒为负数，
∴二次函数y=ax²+2（a+1）x+a+(1)/(2)与x轴无交点，
∴△＜0，
即[2（a+1）]²-4a（a+(1)/(2)）＜0，
整理得，4（a²+2a+1）-4a²-2a＜0，
4a²+8a+4-4a²-2a＜0，
6a+4＜0，
解得a＜-(2)/(3)．
故答案为a＜-(2)/(3)．