设椭圆C：，定义椭圆C的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形。（I）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程

Question

设椭圆C：，定义椭圆C的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形。

　（I）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；

（II）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点。

（i）证明∠AOB为定值；

（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围。

Answer 1

（Ⅰ）因为若抛物线的焦点为与椭圆的一个焦点重合，所以  

又因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以

故椭圆的方程为，                         

“相关圆”的方程为                      

（Ⅱ）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，

则所以                      分

当直线的斜率存在时，设其方程设为，设

联立方程组得 即  

△= 即

                         

因为直线与相关圆相切，所以    

      为定值                                

（ii）由于是“相关圆”的直径，所以，所以要求面积的取值范围，只需求弦长的取值范围

当直线AB的斜率不存在时，由（i）知                     

因为                 分

①     时为所以

所以 所以

当且仅当时取”=”                 

②当时 ．|AB |的取值范围为      分

面积的取值范围是