一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周

Question

一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O点的竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．F₁=7F₂，设R、m、引力常量G以及F₁为已知量，忽略各种阻力，求
（1）该星球表面的重力加速度g．
（2）星球的质量M．

Answer 1

（1）小球在竖直平面内做圆周运动，令小球在最低点时的速度v₁，最高点时的速度为v₂，小球做圆周运动的半径为R则有：
小球从最低点到最高点的过程中机械能守恒有：(1)/(2)mv₁²=mg2R+(1)/(2)mv₂²         ①
小球在最低点时绳的拉力F₁和重力提供向心力：F₁-mg=m(v12)/(R)         ②
小球在最高点时重力和绳的拉力F₂提供向心力：F₂+mg=m(v22)/(R)       ③
由题意知F₁=7F₂④
联立①②③④式可解得该星球表面的重力加速度为g=(F1)/(7m)，
又因为在星球表面重力和万有引力相等，所以有：
由G(m星m)/(R2)=mg
又g=(F1)/(7m)
所以可解得星球的质量为(F1R2)/(7Gm)
答：（1）该星球表面的重力加速度g=(F1)/(7m)．
（2）星球的质量M=(F1R2)/(7Gm)．