已知方程(a-x)^2-4(b-x)(c-x)=0,试说明：（1）此方程必有实数根；（2）若a、b、c为△ABC三边,方程有两个相等的实数根.试确定△ABC的形状.

Question

已知方程(a-x)^2-4(b-x)(c-x)=0,试说明：
（1）此方程必有实数根；
（2）若a、b、c为△ABC三边,方程有两个相等的实数根.试确定△ABC
的形状.

Answer 1

(1)展开 a^2-2ax+x^2-4ac+4bx+4cx-4x^2=0
-3x^2-(2a-4b-4c)x+a^2-4bc=0
判别式=(2a-4b-4c)^2+12(a^2-4bc)
=16a^2+16b^2+16c^2-16ab-16bc-16ac
=8(a^2-2ab+b^2+a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2)
=8[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2]>=0
必定有实根
(2)有两相等实根,判别式为0
3个非负部分相加为0,因此a-b=0,a-c=0,b-c=0
就是a=b=c,等边三角形