过椭圆Mx^2\a^2+y^2\b^2=1（a>b>0)的焦点F的弦交椭圆于AB两点求证1\|AF|+1\|BF|为定值.

Question

过椭圆M x^2\a^2+y^2\b^2=1（a>b>0) 的焦点F的弦交椭圆于AB两点 求证1\|AF|+1\|BF|为定值.

Answer 1

从别的地方找的
由题意知1/AF+1/BF为定值 不妨让直线⊥x轴
则PF=QF 那么1/PF+1/QF=2/PF
∵PF=1/2*2b^2/a=b^2/a 且a^2=4a^2 ∴a=2a 且b^2=a^2
∴1/PF+1/QF=2/PF=2/(a^2/2a)=4/a
综上 4/a即为所求
或者
先设直线的参数方程x=c tcosa y=tsina 代入椭圆得到关于t的一元二次方程 用韦达定理得到t1 t2 t1t2 1/AF 1/BF=1/t1 1/t2=(t1 t2)/t1t2 便可证明其为定值