如图已知抛物线C:y^2=2px和圆M:(x-4)^2+y^2=1,过抛物线上一点H(x,y)(y≥1)作两条直线与圆M相切与A,B两点如图,已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1,过抛物线C上一点H（x0,y0）（y0≥1）作两条直线与

Question

如图已知抛物线C:y^2=2px和圆M:(x-4)^2+y^2=1,过抛物线上一点H(x,y)(y≥1)作两条直线与圆M相切与A,B两点
如图,已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1,过抛物线C上一点H（x0,y0）（y0≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点,分别交抛物线为E、F两点,圆心点M到抛物线准线的距离为17/4
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时,求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t,求t的最小值．

Answer 1

（I）M（4,0）到抛物线y^=2px的准线的距离为17/4,
∴准线为x=-1/4,p=1/2,
抛物线C的方程为y^=x.①
(II)∠AHB的平分线HM⊥x轴时H为(4,土2）,
H为(4,2)时,设HA(HB)的方程为y-2=k(x-4),即kx-y+2-4k=0,
M到HA的距离=2/√(k^+1)=1,
∴k^=3,k=土√3,
把y=√3x+2-4√3②代入①,
3x^+(4√3-25）x+52-16√3=0,
xH=4,xE=(13-4√3）/3,
代入②,yE=(√3-6)/3,
同法得xF=(13+4√3）/3,yF=(-√3-6)/3,
∴EF的斜率=（2/√3）/（-8/√3）=-1/4,
同法得H为(4,-2)时,EF的斜率=1/4.
(III)设A(x1,y1),B(x2,y2)在圆(x-4)^+y^=1上,则切线HA,HB为
(xi-4)(x-4)+yi*y=1,i=1,2,
它们过H(x0,y0),
∴（x0-4)(xi-4)+y0yi=1,
∴AB的方程是(x0-4)(x-4)+y0y=1,
它在y轴上的截距t=[1+4(x0-4)]/y0=[4y0^-15]/y0=4y0-15/y0,↑,y0>=1,
∴t的最小值=t(1)=-11.