如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1，2，则顶点D到平面α的距离是．

Question

如图，棱长为3的正方体的顶点A在平面α上，三条棱AB，AC，AD都在平面α的同侧，若顶点B，C到平面α的距离分别为1， √(2)，则顶点D到平面α的距离是___．

Answer 1

如图，连结BC、CD、BD，则四面体A-BCD为直角四面体．作平面M的法线AH，再作，BB₁⊥平面M于B₁，CC₁⊥平面M于C₁，DD₁⊥平面M于D₁．
连结AB₁，AC₁，AD₁，令AH=h，DA=a，DB=b，DC=c，
由等体积可得(1)/(h2)=(1)/(a2)+(1)/(b2)+(1)/(c2)，
∴(h2)/(a2)+(h2)/(b2)+(h2)/(c2)=1
令∠BAB₁=α，∠CAC₁=β，∠DAD₁=γ，
可得sin²α+sin²β+sin²γ=1，
设DD₁=m，∵BB₁=1，CC₁=√(2)，
∴((1)/(3))2+((√(2))/(3))2+((m)/(3))2=1
解得m=√(6)．即所求点D到平面α的距离为√(6)．
故答案为：√(6)．