设函数f（x）在[0，+∞）上连续、单调不减且f（0）≥0．试证函数F（x）=1x∫x0tnf(t)dt，若x＞00，若x＝0，在[0，+∞）上连续且单调不减（其中n＞0）．

Question

设函数f（x）在[0，+∞）上连续、单调不减且f（0）≥0．试证函数F（x）=

(1)/(x)

∫

x 0

tnf(t)dt，若x＞0

0，若x＝0

，在[0，+∞）上连续且单调不减（其中n＞0）．

Answer 1

证明：显然当x＞0时，F（x）连续，又

lim

x→0+

F（x）=

lim

x→0+

(∫x0tnf(t)dt)/(x)
=

lim

x→0+

xⁿf（x）（洛必达法则）
=F（0）
所以：函数F（x）在[0，+∞]上连续．
当x∈[0，+∞]时：
F'（x）=（(∫x0tnf(t)dt)/(x)）'
=(xn+1f(x)−∫x0tnf(t)dt)/(x2)
又因为，由微分中值定理有：

∫

x 0

tnf(t)dt=ζⁿf（ζ）x  ζ∈（0，x）
因此：F'（x）=(xn+1f(x)−∫x0tnf(t)dt)/(x2)
=(xn+1f(x)−ζnf(ζ)x)/(x2)
=(xnf(x)−ζnf(ζ))/(x)
=(xnf(x)−xnf(ζ)+xnf(ζ)−ζnf(ζ))/(x)
=(xn[f(x)−f(ζ)]+f(ζ)(xn−ζn))/(x)
因为：ζ∈（0，x），所以：xⁿ-ζⁿ＞0；
又：f（x）单调不减，且f（x）≥f（ζ）≥f（0）≥0
因此：f（x）-f（ζ）≥0；
所以有：当x∈[0，+∞]时，
F'（x）=(xn[f(x)−f(ζ)]+f(ζ)(xn−ζn))/(x)≥0
因此，F（x）在x∈[0，+∞]上单调不减．
命题得证．