由动点P(x,y)分别引圆O1:(x+2)^2+y^2=1和圆O2(x-3)^2+y^2=9的切线PA和PB（A,B为切点）,满足PA的绝对值=√2PB的绝对值1.求动点P的轨迹C的方程2.当点P运动到y轴正半轴时,直线PB被轨迹C截得的线段为PQ,求PQ

Question

由动点P(x,y)分别引圆O1:(x+2)^2+y^2=1和圆O2(x-3)^2+y^2=9的切线PA和PB（A,B为切点）,
满足PA的绝对值=√2PB的绝对值
1.求动点P的轨迹C的方程 2.当点P运动到y轴正半轴时,直线PB被轨迹C截得的线段为PQ,求PQ长

Answer 1

(1)∵│PA│=√2│PB│
而│PA│=│PO1│²-│O1A│²,│PB│=│PO2│²-│O2A│²,
∴√[(x+2)²+y²-1]=√2√[(x-3)²+y²-9]
∴x²+y²-16x-3=0
(x-8)²+y²=67
∴P的轨迹是圆心为（8,0）,半径为√67的圆
(2)令x=0,y=±√3
∵P运动到y轴正半轴
∴P(0,√3)
①当直线PB斜率存在时,设为y=kx+√3
∴│O2B│=│3k+√3│/√(k²+1)=3
∴k=√3/3
圆心(8,0)到PB的距离为
d=│8k+√3│/√(k²+1)=（8×√3/3+√3）/√(1+1/3)=11/2
∴│PQ│=2√[67-(11/2)²]=7√3
②当直线PB斜率不存在时,
当x=0时,8²+y²=67,y=±√3
∴│PQ│=2√3
综上可知：│PQ│=2√3或7√3