已知抛物线y=mx2+4x+2m与x轴交于点A（，0）、B(，0)，且．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的对称轴为l，与y轴的交点

Question

已知抛物线 y = mx ² +4 x +2 m 与 x 轴交于点 A （ ， 0 ）、 B( ， 0) ，且 ．

（ 1 ）求抛物线的解析式．

（ 2 ）抛物线的对称轴为 l ，与 y 轴的交点为 C ，顶点为 D ，点 C 关于 l 对称点为 E ． 是否存在 x 轴上的点 M 、 y 轴上的点 N ，使四边形 DNME 的周长最小？若存在，请画出图形（保留作图痕迹），并求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（ 3 ）若点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，当以点 D 、 E 、 P 、 Q 为顶点的四边形为平行四边形时，求点 P 的坐标．

 

Answer 1

（ 1 ）由题意可知， ， 是方程 的两根，由根与系数的关系可得， + = ， =-2 ．

∵ ，

∴ ．即： ．

∴ m =1 ．

∴抛物线解析式为 ．

（2）        存在 x 轴， y 轴上的点 M ， N ，使得四边形 DNME 的周长最小．

∵ ，

∴抛物线的对称轴 为 ，顶点 D 的坐标为（ 2 ， 6 ）．

又抛物线与 y 轴交点 C 的坐标为（ 0 ， 2 ），点 E 与点 C 关于 对称，

∴ E 点坐标为（ 4 ， 2 ）．      

作点 D 关于 y 轴的对称点 D ′ ，作点 E 关于 x 轴的对称点 E ′ ，

则 D ′ 坐标为（ -2 ， 6 ）， E ′ 坐标为（ 4 ， -2 ）．连接 D ′ E ′ ，交 x 轴于 M ，交 y 轴与 N ．

此时，四边形 DNME 的周长最小为 D ′ E ′+ DE ．（如图 1 所示）

延长 E ′ E ， D ′ D 交于一点 F ，在 Rt △ D ′ E ′ F 中， D ′ F =6 ， E ′ F =8 ．

∴ D ′ E ′= = ．

设对称轴 与 CE 交于点 G ，在 Rt △ DG E 中， DG =4 ， EG =2 ．

∴ DE = = ．

∴四边形 DNME 的周长的最小值为

10+ ．

（ 3 ）如图 2 ， P 为抛物线上的点，过 P 作 PH ⊥ x 轴，垂足为 H ．若以点 D 、 E 、 P 、 Q 为顶点的四边形为平行四边形，则△ PHQ ≌△ DGE ．

∴ PH = DG =4 ．

即 =4 ．

∴当 y = 4 时， =4 ，解得

当 y =-4 时， =-4 ，解得 ．

∴点 P 的坐标为（ ， 4 ），（ ， 4 ），（

作业搜用户 2017-01-14