已知:二次函数y=ax2+4的图像与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且cos∠CAO=√2/2（1）求二次函数的解析式；（2）若以点O为圆心德源与直线AC相切于点D,求点D的坐标

Question

已知:二次函数y=ax2+4的图像与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且cos∠CAO =√2/2
（1）求二次函数的解析式；
（2）若以点O为圆心德源与直线AC相切于点D,求点D的坐标

Answer 1

（1）由题意知点C坐标为(0,4)
∵cos∠CAO =√2/2,∴∠CAO=45°
⊿CAO为等腰直角三角形
∴OA=OC
∴点A坐标为(-4,0),代入y=ax^2+4,求得a=-1/4
二次函数的解析式为y=-1/4x^2+4
（2）∵∠CAO=45°,∴tan∠CAO=1
直线AC的解析式为y=x+4①
∵以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D,∴直线OD⊥直线AC
∴直线OD的斜率为-1,直线OD的解析式为y=-x②
①②联立方程组,解得x=-2,y=2
即点D的坐标为(-2,2)．