已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c和一次函数g(x)=-bx其中a,b,c∈R且满足a＞b＞c.f（1）=0.⑴证明：函数f(x）与g(x)的图像交于不同的两点A,B.⑵若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2,3]上的最小值为9.最大值为21.

Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx+c和一次函数g(x)=-bx 其中a,b,c∈R 且满足a＞b＞c.f（1）=0.
⑴证明：函数f(x）与g(x)的图像交于不同的两点A,B.
⑵若函数F（x）=f（x）-g（x）在[2,3]上的最小值为9.最大值为21.试求a,b的值.

Answer 1

1)只要证明方程ax^2+bx+c=-bx有两个实根即可
移项,方程变为 ax^2+2bx+c=0
判别式为 4(b^2-ac)
i）若a,c异号,则判别式>0
ii)若a,c同号,因为 f(1)=0,即a+b+c=0,则b=-(a+c)
所以：b^2-ac=(a+c)^2-ac=a^2+c^2+ac>0
故判别式总大于0,证毕
2)F(x)=ax^2+2bx+c,
F(2)=4a+4b+c=3a+3b,F(3)=9a+6b+c=8a+5b
因a>b,故F(2)