如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，连接DE，CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，则S△EBC=1，其中正确的

Question

如图，等边△ABC中，AB=2，D为△ABC内一点，且DA=DB，E为△ABC外一点，BE=AB，且∠EBD=∠CBD，连接DE，CE，则下列结论：①∠DAC=∠DBC；②BE⊥AC；③∠DEB=30°；④若EC∥AD，则S_△EBC=1，其中正确的有___．

Answer 1

证明：连接DC，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60，
∵DB=DA，DC=DC，
在△ACD与△BCD中，

AB=BC

DB=DA

DC=DC

，
∴△ACD≌△BCD  （SSS），
∴∠BCD=∠ACD=(1)/(2)∠ACB=30°，
∵BE=AB，
∴BE=BC，
∵∠DBE=∠DBC，BD=BD，
在△BED与△BCD中，

BE=BC

∠DBE=∠DBC

BD=BD

，
∴△BED≌△BCD  （SAS），
∴∠BED=∠BCD=30°．
由此得出①③正确．
∵EC∥AD，
∴∠DAC=∠ECA，
∵∠DBE=∠DBC，∠DAC=∠DBC，
∴设∠ECA=∠DBC=∠DBE=∠1，
∵BE=BA，
∴BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC=60°+∠1，
在△BCE中三角和为180°，
∴2∠1+2（60°+∠1）=180°
∴∠1=15°，
∴∠CBE=30，这时BE是AC边上的中垂线，结论②才正确．
BE边上的高位(1)/(2)BC=1，
∴S△EBC=1，结论④是正确的．
故答案为：①③④