数列{an}中,a1=2,an+1=an+1/2^n,则an=A3-(1/2)^nB2-(1/2)^nC2-(1/2)^n-1是n-1次D3-(1/2)^n-1同上的后半部是N-1的可3怎么出来的呢?

Question

数列{an}中,a1=2,an+1=an+1/2^n,则an=
A 3-(1/2)^n
B 2-(1/2)^n
C 2-(1/2)^n-1 是n-1次
D 3-(1/2)^n-1 同上
的后半部是 N-1的 可3怎么出来的呢?

Answer 1

a(n+1)=an+1/2^n
那么a(n+1)-an=1/2^n
所以
a2-a1=1/2
a3-a2=1/2^2
a4-a3=1/2^3
...
an-a(n-1)=1/2^(n-1)
叠加得an-a1=1/2+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-1)=(1/2)*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)=1-(1/2)^(n-1)
所以an=a1+1-(1/2)^(n-1)=3-(1/2)^(n-1)