如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值；（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为

Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（Ⅰ）证明：D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D₁E所成角的余弦值；
（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为(π)/(4)．

Answer 1

以D为坐标原点，直线DA，DC，DD₁分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）
（Ⅰ）因为

DA1

=（1，0，1），

D1E

=（1，x，-1）
∴

DA1

•

D1E

=1+0-1=0，所以D₁E⊥A₁D；
（Ⅱ）因为E为AB中点，则E（1，1，0），
从而

D1E

=（1，1，-1），

AC

=（-1，2，0），
设AC与D₁E所成的角为θ
则cosθ＝(|AC•D1E|)/(|AC||D1E|)＝(|−1+2+0|)/(√(5)√(3))＝(√(15))/(15)…（9分）
（Ⅲ）设平面D₁EC的法向量为

n

=（a，b，c），
∵

CE

=（1，x-2，0），

D1C

=（0，2，-1），

DD1

=（0，0，1）
由

n

•

D1C

＝0

n

•

CE

＝0

，有

2b−c＝0

a+b(x−2)＝0

，
令b=1，从而c=2，a=2-x
∴

n

=（2-x，1，2），…..（12分）
由题意，cos(π)/(4)=(n•DD1)/(|n|•|DD1|)=(2)/(√((x−2)2+5))=(√(2))/(2)．
∴x=2+√(3)（不合题意，舍去），或x=2-√(3)．
∴当AE=2-√(3)时，二面角D₁-EC-D的大小为(π)/(4)．