如图所示，正四棱台ABCD-A1B1C1D1是由一个正三棱锥S-ABCD（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面正方形的中心）被平行于底面的平面截所得．已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1下底面边长为2，上底

Question

如图所示，正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁是由一个正三棱锥S-ABCD（底面为正方形，顶点在底面上的射影为底面正方形的中心）被平行于底面的平面截所得．已知正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁下底面边长为2，上底面边长为1，高为2．
（1）求四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积；
（2）求正四棱锥S-ABCD的体积；
（3）证明：AA₁∥平面BDC₁．

Answer 1

解（1）由已知，正四棱台上底面积S₁=1，下底面积S=4，高h=2，
∴V＝(1)/(3)(S+S1+√(S•S1))h＝(14)/(3)…4
（2）设正四棱锥S-ABCD高为x，则四棱锥S-A₁B₁C₁D₁高为x-2，
由(x−2)/(x)＝(A1B1)/(AB)＝(1)/(2)，解得x=4，…7
∴VS−ABCD＝(1)/(3)SABCD•x＝(16)/(3)…9
（3）连结AC交BD于O，连结OC₁，∵ABCD为正方形，
∴O为AC中点，…10
又∵(SC1)/(SC)＝(B1C1)/(BC)＝(1)/(2)
∴C₁为SC的中点，…12
则OC₁为△ASC的中位线，
∴OC₁∥AA₁，…13
而OC₁⊂平面BDC₁，AA₁⊄平面BDC₁，
∴AA₁∥平面BDC₁…14