如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，PB=PC，AB=1，BC=2，E，F分别是BC，PC的中点．（1）求证：AC⊥平面PAB；（2）当平面PDC与底面ABCD所成二面角为π3时，求二面角

Question

如图，已知四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，PB=PC，AB=1，BC=√(2)，E，F分别是BC，PC的中点．
（1）求证：AC⊥平面PAB；
（2）当平面PDC与底面ABCD所成二面角为(π)/(3)时，求二面角F-AE-C的大小．

Answer 1

（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PB的射影是AB，PC的射影是AC，
∵PB=PC，∴AB=AC，∴AB=AC=1，且BC=√(2)，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=(π)/(2)，…（3分）
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC，
∵PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB…（6分）
（2）解法1：由（1）知AC⊥AB，且ABCD是平行四边形，可知AC⊥CD，
又∵PA⊥平面ABCD，由三垂线定理可知，PC⊥CD，
又∵PC∩AC=C由二面角的平面角的定义可知，∠PCA是平面PDC与底面ABCD所成二面角，故∠PCA=(π)/(3)，
故在Rt△PAC中，AC=1，∴PA=√(3)，PC=2，
从而AF=(1)/(2)PC=1，EF=(1)/(2)PB=(1)/(2)PC=1，
又在Rt△ABC中，AE=(1)/(2)BC=(√(2))/(2)，∴在等腰三角形△FAE，
分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN，
∴中位线FN∥PA，且PA⊥平面ABCD，∴FN⊥平面ABCD，
在△AEF中，中线FM⊥AE，由三垂线定理知，MN⊥AE，∠FMN为二面角F-AE-C的平面角，
在Rt△FMN中，FN=(1)/(2)PA=(√(3))/(2)，MN=(1)/(2)EC=(√(2))/(4)，tan∠FMN=(FN)/(MN)=√(6)，∠FMN=arctan√(6)，
∴二面角F-AE-C的大小为arctan√(6)．
解法2：由（Ⅰ）知，以点A为坐标原点，以AB、AC、AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA=λ，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），P（0，0，λ），D（-1，1，0），E((1)/(2)，(1)/(2)，0)，F(0，(1)/(2)，(λ)/(2))，则

CP

=(0，-1，λ)，

CD

=(-1，0，0)，

AP

=(0，0，λ)
设平面PCD的一个法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，
则由

n1

•

.

CD

=0

n1

•

.

CP

=0

得

x1=0

y1=λz1

，取

n1

=(0，λ，1)
又

AP

是平面ABCD的一个法向量，
平面PDC与底面ABCD所成二面角为(π)/(3)cos＜

AP

，

n1

＞=(AP•n1)/(|AP||n1|)=(λ)/(λ√(λ2+1))=cos(π)/(3)，
解得λ=√(3)，
设平面FAE的一个法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，
则由

n2

•

AE

=0

n2

•

CP

=0

得

x2=-y2

y2=λz2

，取

n2

=(-√(3)，√(3)，1)．
又

AP

是平面AEC的一个法向量，
设二面角F-AE-C的平面角为θ，则cos＜

AP

•

n2

＞=(AP•n2)/(|AP||n2|)=(√(3))/(√(3)•√(7))=(√(7))/(7)，
∴cosθ=(√(7))/(7)∴θ=arccos(√(7))/(7)
∴二面角F-AE-C的大小为arccos(√(7))/(7)．…（12分）