如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．（1）求证：PQ∥平面DCC1D1；（2）求PQ的长；（3）求证：EF∥平面BB1D1D．

Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，P，Q分别是BC，C₁D₁，AD₁，BD的中点．

（1）求证：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求PQ的长；
（3）求证：EF∥平面BB₁D₁D．

Answer 1

证明：（1）如图所示，连接AC，CD₁，
∵P，Q分别为AD₁、AC的中点，
∴PQ∥CD₁，
∵CD₁⊂平面DCC₁D₁，PQ⊄平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）由题意，可得：PQ=(1)/(2)D1C=(√(2))/(2)a．

证明：（3）取CD中点G，连结EG、FG，
∵E，F分别是BC，C₁D₁的中点，
∴FG∥D₁D，EG∥BD，
又FG∩EG=G，
∴平面FGE∥平面BB₁D₁D，
∵EF⊂平面FGE，
∴EF∥平面BB₁D₁D．